11 apr. 2008

Monty Hall: Förklarar, en gång för alla, varför man ska byta låda

....och så kommer här ett lite mer nöjesrelaterat inlägg, om sannolikheter och kombinationer.....

Jag tänkte förklara mysteriet Monty Hall, en gång förr alla, så att alla läsare förstår! Använd gärna kommentarsfältet om jag inte lyckas. Yell at me.



Man är med i ett tävlingsprogram på tv.

Programledaren presenterar tre dörrar 1, 2, och 3.

Bakom den ena dörren finns en ny bil, och bakom de andra två, nitlotter.

Man får välja en låda, och pekar exempelvis på ettan.


Programledaren kommer då med en ledtråd: han öppnar dörr nummer tre och visar att det ligger en nitlott bakom den.


Nu frågar han: Vill du stanna på dörr nummer 1, så att jag öppnar den?
Eller vill du byta till dörr nummer 2?


Den tävlande tänker nu exempelvis:
"Tja jag har fortfarande lika stor chans på båda dörrarna, så det är väl lika bra att hålla sig till ettan, och inte hoppa omkring"


Men det är faktiskt så, att hon har dubbelt så stor chans att vinna om hon BYTER låda, till nummer 2! Då får hon två tredjedelars chans på bilen, medan om hon stannar kvar på ettan har hon bara en tredjedels chans.


What? Varför? Sunt förnuft säger väl att man lika gärna kan stanna kvar!

Men detta är ett exempel på att man ibland nästan inte kan sluta sig till rätt svar genom blotta åsynen/förnuftet/vettet, utan behöver även sätta sig ner och teoretisera lite, grubbla....;)


* Här kommer förklaringen
(jag vet att det formulerats en hel del förklaringar, men jag har min egen stil):

Det finns två nitlotter och en bil, bakom de tre dörrarna. När man väljer en dörr har man 1/3 chans att det är en bil bakom.

Men nu kommer det viktiga:

Alltså har man 2/3 risk att det är en nitlott som man valt! Alltså 2/3 chans att vinsten ligger i någon av de lådor man inte valt.

Nu pekar programledaren ut en av de andra lådorna (3:an), som en nitlott.


Remember: Det är FORTFARANDE 2/3 chans att vinsten ligger i någon av de andra lådorna (2:an eller 3:an).

(fast nu är det bara en kvar utav de andra lådorna, nämligen tvåan)
Trevlig helg!



Annat exempel på när endast formler ger svaret, om höga vågor på havet.
Image source: http://a.abcnews.com/

19 kommentarer:

Johan Stenberg sa...

Bra förklarat!

Om man ändå inte riktigt tror på det så kan man ju leka lite hemma med tre lådor. Låt en person vara programledare och gömma "vinsten" medan den andre sedan får välja låda. Upprepar man leken 20-30 gånger så får man nog ett fint dataset.

Charlotte Therese sa...

Z,

Då kommer jag och "yellar" lite då... ;-)

För jag ser inte hur chansen ökar om man byter låda - det är ju 50/50% chans på ettan och tvåan - efter avslöjandet. Det blir inte mer än 50% om man byter låda.

I din förklaring, om jag har tolkat den rätt, ser det ut som om man har drygt 66% chans om man byter till tvåan - men bara drygt 33% chans om man stannar på ettan.

Eller är det här exemplet bara en lurig tankelek för att förvilla - lite tanketrolleri - inte torr statistik?

Menar du detta på allvar så får du allt förtydliga... ;-)

Charlotte

Z sa...

Charlotte :)

Du kan göra som i Johan S' förslag: Testa leken 30-40 gånger tillsammans med en vän, och för statistik på det
(skriv upp resultaten på papper),

så ska ni se hur ofta vinsten finns i den låda man valde först,
jämfört med hur ofta vinsten finns i den andra lådan. Kolla, det blir spännande!

Förklaring:
När man först valde en låda (nr 1), så var det 1/3 chans att man valt vinsten,

alltså 2/3 chans att vinsten låg i någon av de andra lådorna (2:an eller 3:an)

När lekledaren pekar ut en av de andra lådorna som en nit (3:an), så har han hjälpt mig som tävlande.

Det är nämligen FORTFARANDE 2/3 chans att vinsten ligger i en av de lådor jag inte valt (2:an eller 3:an).

Här kommer det kluriga: Du har RÄTT i att det bara är 1/3 chans att vinsten ligger i 2:an (den man kan byta till), men grejen är, att det också är 33% chans att den ligger i 3:an, som nu blev avslöjad som en nit. Slår man ihop dessa sannolikheter 33% + 33% så får man 66% sammanlagt.

OM nu vinsten istället hade legat under nummer 3, så hade lekledaren pekat ut 2:an som en nit åt dig.

Med andra ord:

Genom sin ledtråd, hjälpte lekledaren dig att välja "en av de andra lådorna", som ju tillsammans hade 2/3 chans från början.

Mycket svårt att se intuitivt, tycker jag själv.

(men som sagt: testa gärna själv med någon vän, eller flera, hemma eller t ex vid kyrkkaffet. Man kan exempelvis tillverka tre ytterst små papperslådor, det blir kul!)

Zoltan sa...

Alla som har svårt att förlika sig med textbeskrivningar för att tro, börjar kanske tro om de får se?

Tjusiga bilder som åskådliggör mysteriet finns på denna länk

Z sa...

Zoltan
bra länk

Charlotte
Kort summering:

Lekledaren ger dig alltså chansen att välja "De andra två lådorna" (2/3-chansen), (om du nu byter). Lekledaren har redan "tagit bort" niten för dig.

oavsett vilken av de två icke-valda som innehåller vinsten,
så får du just DEN,
om du byter

(förutsatt att inte vinsten ligger i den låda du först valde)

RUDIE sa...

Z
Så merklig!
Men om du Z velger en dør (1), og Johan velger en annen dør(2), og jeg velger en tredje dør(3). Har ikke vi alle lik sjanse?
Om min dør åpnes først, og hovedgevinsten ikke er der. Hvem av dere har størst sjanse til å vinne hovedgevinsten?

LeoH sa...

Ibland får jag en känsla av att förstår, men efter en stund har jag totalt tappat bort vad det var jag förstod:-)

Z sa...

Rudie:

Smart fråga! :)
Får tänka...

Om vi tre först öppnar din dörr, som har en nitlott,

och om sedan Johan och jag BÅDA FÅR ÖPPNA varsin dörr (1:an och 2:an), så har vi lika stor chans var, dvs 50 % till Johan och 50% till mig. Detta beror på att vi redan har öppnat din dörr.

Det finns bara två kombinationer kvar:
Johan:vinst jag:nit
eller
Johan:nit, jag:vinst.

MEN, om bara en av oss (Johan) får öppna låda, och han byter till 1:an, så har han störst chans.

Johan har nämligen tre olika kombinationer framför sig från början (precis som vi alla hade):

a: han har valt niten, och vinsten ligger hos dig (nr 3)

b: han har valt niten och vinsten ligger hos mig (nr 1)

c: han valde från början vinsten (nr 2)

Men oavsett om vinsten ligger hos DIG eller MIG, så får Johan den ifall han byter.

För om vinsten ligger hos mig (nr 1) så visar vi honom DIN dörr (nr 3), med niten

Och om vinsten ligger hos dig, visar vi honom MIN dörr.

(Leken går nämligen ut på att vi MÅSTE peka ut en nit)


Så det finns alltså två möjliga kombinationer för vinst i någon av de två lådor man först inte valde.

Men bara en möjlig kombination för vinst i den låda jag först hade.

Z sa...

Leo:
jag skriver en "lätt" förklaring i nästa inlägg.

Charlotte Therese sa...
Den här kommentaren har tagits bort av skribenten.
Charlotte Therese sa...

Z,

Det här låter fortfarande konstigt.

För sannolikheten för att man väljer rätt låda första gången måste ju vara lika stor som att man gör det efter att det bara finns den och en till kvar att välja mellan. I alla fall borde den inte bli större när man vet en lådas innehåll.

Eller?

Det är 50/50 chans vilken av lådorna man än väljer då.

Varför skulle sannolikheten att man väljer fel första gången vara större än att man gör det andra gången? Så att det skulle vara fördelaktigare att byta.

Det räcker ju inte med att risken att välja fel först är större (2/3) och att den blir mindre andra gången (1/2).

Varför skulle vinsten oftare ligga i den låda man inte har valt första gången? Chansen borde väl vara lika stor vilken låda man än valde då - och än mer efter att en nitlåda är borta ur spelet?

För den blir ju alltid 50/50 i andra omgången.

Jag tror jag intuitivt skulle försöka ana mig till var vinsten finns och på en gång välja den lådan. Om sen en nitlåda pekas ut bland de övriga två så vill jag ju inte byta till den jag inte tror att det är...

Borde jag alltså välja en låda jag inte tror att det är - sen vänta på att den andra nitlådan pekas ut - och sen byta till den jag från början trodde att det var?

Fast då stämmer ju inte sannolikhetsteorin, för då handlar jag ju tvärtemot tanken med spelet... ;-)

Hmmmm... Kan det hela bero på att en person (den som pekar ut nitlådan) vet var vinsten är och kanske avslöjar när det är bra att byta i sitt kroppspråk, tonfall etc.

Men ok - jag testar gärna IRL - kanske några av oss kan göra det under en bloggträff i miniatyr...?

Hoppas det här var någorlunda begripligt - grannen borrar järnet i den oborrbara betongväggen framför min dator sen över en timme tillbaka... Lite svårt att formulera något sammanhängande...

Charlotte

Z sa...

Charlotte

"Varför skulle vinsten oftare ligga i den låda man inte har valt första gången?"

Om det istället finns 100 lådor: Chansen att vinsten ligger i lådan du valt är 1/100, 1%. Chansen att den finns i någon av de andra lådorna är 99%. Eller hur?

(jfr med tre lådor; chansen att du valt fel är 2/3)

Vi säger att lekledaren pekar ut 98 av de 99 lådor du inte valt. I dessa ligger alla en nit.

Det är fortfarande 99% chans att vinsten ligger i en av de lådor du först inte valt.

Gissa om det är bäst att byta låda till den enda av 99, som han inte pekat ut åt dig.


Men som sagt, testa gärna irl :)

Charlotte Therese sa...
Den här kommentaren har tagits bort av skribenten.
Charlotte Therese sa...

Z,

Det är på den här punkten i resonemanget som jag har en avvikande åsikt:

>Det är fortfarande 99% chans att vinsten ligger i en av de lådor du först inte valt.

Det är det väl inte? Eftersom de bortplockade bevisligen är nitlådor...

Därefter (när det bara är två lådor kvar) är chansen 50/50 även i det fallet så vitt jag kan se.

Men visst måste det vara betydligt svårare att träffa rätt första gången om det är hundra lådor att välja på och inte bara tre.

Så av enbart den anledningen vore det kanske klokt att byta låda efter att man fått så mycket hjälp med att sortera bort nästan alla de felaktiga lådorna.

Men om det bara är tre lådor som utgångspunkt är oddsen ofantligt mycket högre för att det blir rätt första gången...

Och varför byta i så fall? Om det är så stor chans att första gissningen är rätt...

Som sagt, testar gärna IRL...innan det här börjar hålla mig vaken på nätterna... ;-)

Charlotte

z sa...

Charlotte

Testa på

Ta som sagt reda på: Hur ofta vinsten

låg i lådan du valde först
jämfört med hur ofta den

låg i lådan som du kunde byta till.

Charlotte Therese sa...

Z,

Exakt så tänkte jag göra...

Måste bara hitta någon oberoende kontrollör först - som plockar bort en nitlåda... ;-)

Charlotte

Anonym sa...

Många har sagt testa själv, och det tror jag är bäst för att förstå.

1) Uppfinn 2 personer, Ada som alltid behåller sitt val, och Beda som alltid ändrar till andra luckan. Låt dem spela många omgångar.

2) Man behöver inte vara flera personer. Låt lekledaren (Lena) som väljer om vinsten ska finnas i A, B el C vara en tärning. Låt Adas el Bedas första val i varje omgång också vara en tärning.

Efter ett antal tärningskast bör du se en tendens.

3) Om du sätter upp modellen med Ada och Beda (och Lena) i huvet och abstraherar lite så behöver du inte ens spela på riktigt. Efter några tänkta omgångar inser du hur utfallet skulle bli.

(När jag analyserade problemet för många år sedan tyckte jag att nyckel till en enkel förklaring är att betrakta två alternativa "beteenden": alltid stanna resp alltid byta.)

/David A

Anonym sa...

Asså problemet med alla såna här ekvationer är den största delen, slumpen, funkade det att räkna ut ett heltätt system skulle alla kasinon, lotterier, hästkapplöpningsbanor osv gå i konkurs, dö ut å bli bankrutta på dagar...

Sen finns det ett gammalt Las Vegas-utryck som är : "house always wins" å så är det nog i slutendan med det mesta...
jag lovar er alla att ingen vill he bort pengar om de inte "måste"...

//B-man

Anonym sa...

*ge

Skicka en kommentar

Sjung ut