19 okt. 2007

Imaginära tal.....fantasin och vardagen har kontakt....

* Om man tar ett tal och multiplicerar det med sig självt, t ex. 5 x 5 eller -5 x -5, så blir svaret positivt (här: +25), i båda fallen. Ett negativt tal (t ex -25) har, med andra ord, ingen rot.

Kort sagt: Man kan inte multiplicera något tal med sig självt (a x a) så att svaret blir negativt. Det går inte i våran reella värld.

* Så därför - tada! - har några snillen (för länge sedan) kommit på en imaginär värld! Für alle!.....

De tar helt sonika fram en definition av "Roten ur minus ett"
Men, som jag skrev ovan, det finns ju inget tal som kan multipliceras med sig självt och ge en negativ produkt. Ex. Roten ur 81 blir antingen 9 (för 9 x 9 = 81) eller -9 (för -9 x-9 = 81) men roten ur -81 finns väl inte?

* "Jo, men då gör vi såhär: Vi vet inte vad "Roten ur minus ett" någonsin skulle bli, så vi kallar svaret 'i'. Vi bestämmer oss för det."

'i' gånger 'i' är lika med minus ett"

Roten ur -81 blir då "i gånger 9" dvs 9i.
Smart eller omöjligt?

Vad har man för omedelbar nytta med detta i vardagslivet? Varför bry sig om det?

Kommer snart med exempel, håll ut, för det är rätt nyttigt för datorn man sitter vid t ex, samt musiken man lyssnar på, men först nämner jag bara kort de imaginära talens kusin:

* Komplexa tal
De komplexa talen består dels av en reell del (med normal, sund och klassisk typ av räkning) samt en imaginär del (dvs antalet imaginära enheter, antalet i, galen o rolig räkning)

Ett komplext tal kan se ut så här: 5 + 12i
Det betyder att det reella delen är 5 och den imaginära 12i

* Så, jag försökte vara så kortfattad som bara möjligt, för många av mina läsare är nog redan fullt medvetna om detta bus. Men kanske har ni undrat vad de egentligen representerar för verklighet? Visar de alls någonting matnyttigt?

* Ja, de små liven, i:na, används bland annat inom magnetism och elektronik, fast då heter de 'j' istället, för att inte blanda ihop med elektronikens beteckning för ström.

De små luriga i:na visar sig nämligen ge stor hjälp vid beräkning av olika växelströms-förlopp över tiden.
Dessa är urviktiga vid konstruerandet av mycket av det elektroniska vi arbetar med och har hemma. Högtalare, datorer, tvapparater etc etc....

Ofta vill man typiskt minska på den imaginära delen, för den visar sig då representera fluktuationerna man ska undvika, t ex för att få bättre ljud etc...
.
* Ibland behöver man alltså sätta sig ner och fantisera ihop nya teoretiska begrepp, för att förstå det praktiska bättre. Sådant fascinerar mig.

Kom att tänka på detta då jag läste Alephs Matematik och verklighet


7 kommentarer:

LeoH sa...

Professor i teoretisk fysik Paul Davies ställer i boken "I huvudet på Gud" frågan - uppfinner vi matematiska regler eller upptäcker vi dem? I vilken kategori faller "i":-)

Z sa...

LeoH

Yeah, spooky
'i' är kanske ändå något som beskriver verkligheten, men vi kan inte räkna ut hur mycket talet är värt med vår logik....konstigt.....

Jonathan sa...

Som jag ser det finns det ingen egentlig skillnad mellan reella och imaginära tal. De är båda konstruktioner i våra huvuden, och imaginära tal råkar vara användbara för att beskriva verkligheten, bara inte på så naiva sätt som att besvara "hur många stenar har jag i handen?".

"men vi kan inte räkna ut hur mycket talet är värt med vår logik....konstigt"

Vi kan visst "räkna ut" vad talet är "värt". Det är värt exakt 'i'. Varken mer eller mindre. Och att vi inte kan uttrycka 'i' med ett reellt tal är inte speciellt konstigt.

Z sa...

Jonathan Välkommen!

visst, man kan uttrycka det som att:
"Vi har en massa reella tal, och så 'i'"

Man få helt enkelt vänja sig vid "negativa absolutbelopp"

Aleph sa...

Tack för länkningen, Z.

Jag antar att vi egentligen är överens här. Men för tydlighetens skull, matematik kan väl helt enkelt beraktas som ett språk, som bara är mer exakt än det vi använder till vardags. Med vårt tal- och skriftspråk kan vi formulera modeller och teorier som antingen överensstämmer med verkligheten, antas överensstämma med den eller bara är rena fantasikonstruktioner. Ibland formulerar vi en uppfattning som vi inte vet varför den överensstämmer med verkligheten, bara att den gör det. På samma sätt fungerar matematik.

Matematik är inte någon verklighet i sig (gammal kvardröjande uppfattning från pythagoréerna?), utan dess sanningsvärde avgörs av dess applicerbarhet på vår verklighet.

l_johan_k sa...

Hade tenta i elektromagnetism i dag. Många "j:n". ;)

Z sa...

Kul, Johan
Själv hade jag förut problem med "absolutbeloppet på överföringsfunktionen", eller vad det var.

Skicka en kommentar

Sjung ut